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Leonhard Euler - o maior gênio da história
Inspirado pelo Nerdcast sobre matemática (Nerdcast 424 – Matemática > Vida | Jovem Nerd), resolvi enviar um e-mail ao JN contando um pouco da história de um dos grandes gênios da humanidade, Leonhard Euler. Como ficou legal, vou compartilhar aqui (uma versão extendida que estou fazendo para outros fins).
Antes de mais nada, se tu não curte ciência/história ou é um hater qualquer, get out. Já avisando, o texto é longo. Tentei ser o menos chato/matemático possível.
Bem, eu conheci Euler através da minha pesquisa (faço Computação) e, como sempre curti história da ciência e biografias dos grandes gênios, fui atrás. Descobri um dos caras mais underrated da história, com seus incríveis feitos reconhecidos apenas por uma comunidade pequena composta por matemáticos, físicos e geeks, enquanto Newton, Einstein, Gauss e outros vivem sob os holofotes da cultura pop. Por isso, por que não compartilhar?
Leonhard Euler - o Shakespeare da matemática
Euler foi um matemático suiço que viveu entre 1707 e 1783, trabalhando principalmente em São Petersburgo e Berlim. Como um bom gênio, graduou-se com 15 anos, sendo aprendiz de Johann Bernoulli (sendo, esse sobrenome, bastante famoso na matemática).
Mas e por que eu digo que ele é o maior gênio da matemática?
Pode-se analisar sob algumas perspectivas o trabalho de cientistas. Primeiro, quanto ao número de publicações. Depois, quanto a diversidade de seus trabalhos. Por fim, o elemento subjetivo: a beleza do trabalho, das suas equações, etc.
Então, começando pelo número de publicações: o "Opera Omnia" (em português "Obra Minha") de Euler começou a ser publicado em 1912, juntando todos os livros e papers escritos por Euler. Essa "série" possui 76 edições, com cerca de 25000 páginas. E ainda estão saindo! E não pensem que são livros pequenos, são enormes. Foi criado um catálogo para os trabalhos de Euler, e esse catálogo tem 366 páginas! Outro fato sobre sua produtividade? Euler publicou em 1775 um paper por semana. Ah, deve-se salientar que ele escreveu 288 papers após 1783. Ou melhor, outros escreveram, já que Euler morreu em 1783! Sua linha de produção continuava tentando despachar trabalhos inacabados após 12 anos de sua morte.
Agora, segura na cadeira, Euler era casado, tinha 13 filhos (apenas 5 sobreviveram aos primeiros anos de vida) e... a partir de 1771, perdeu totalmente sua visão (era cego de um olho desde 1730). Isso mesmo, um matemático cego. Ele "enxergava" o que escrevia e lia com a sua mente, "recitando" sua matemática e filosofia para seus ajudantes, que escreviam os papers.
Enquanto Beethoven, surdo, escrevia suas sinfonias, Euler, cego, enxergava o mundo pitagórico como ninguém.
Sob um segundo aspecto, a diversidade do seu trabalho: Euler trabalhou de teoria dos números a física, passando por álgebra, cálculo, mecânica, ótica, música, etc. Trabalhava do elementar ao avançado: escreveu livros explicando porque o céu é azul ensinando crianças ("Letters to a German Princess", se alguém se interessar) ao mesmo tempo que atuava na ponta da ciência, discutindo com grandes pensadores. Uma grande contribuição na física, por exemplo, é a correlação entre a mecânica e o cálculo criada por ele (definindo coisas como a primeira derivada da posição em relação ao tempo ser a velocidade e a segunda derivada ser a aceleração, etc.)
Por fim, a beleza do seu trabalho: Euler é reconhecidamente o nome com mais aparições no "dicionário da matemática": entre Identidade de Euler, Teorema de Euler, Número de Euler, etc., temos 96 aparições. Gauss? 70 aparições. Cauchy? 33. A constante "e" (2,718...) vem de Euler pois ele que a encontrou. Ela é utilizada em inúmeras aplicações de engenharia, haja visto a sua usabilidade em questões de física (base do logaritmo natural).
Em 1988 foi feita uma eleição entre os matemáticos do mundo para descobrir as mais belas equações. No "Top 5", Euler aparece... três vezes: em quinto, segundo e primeiro. A mais bela equação de todas, a Identidade de Euler (imagem abaixo) venceu a eleição pois junta os cinco mais importantes números em uma única equação: o "0", elemento neutro na soma e subtração, o "1", elemento neutro na multiplicação e divisão, o "i", base do conjunto dos números complexos, o "π", base da geometria e o "e", base do cálculo.
Algumas curiosidades interessantes sobre o trabalho de Euler (aqui é necessário um pouquinho, bem pouquinho, prometo de conhecimento de matemática).
Números amigos ("amicable numbers", não sei se é esse o termo em português) são números com uma propriedade interessante e fazem parte da teoria dos números. É mais fácil com um exemplo: 220 e 284 são números amigos. Se somarmos os divisores de 220, temos:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Da mesma forma que se somarmos os divisores de 284, temos:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Ou seja, 284 e 220 são números amigos porque cada um é a soma das divisores inteiros do outro, e vice-versa. Deu pra entender?
Bem, essa propriedade é velha. Em 300 A.C., os gregos descobriram o 220 e 284. Em 1636, Fermat (o gordinho da foto abaixo, famoso pelo seu Último Teorema, que daria mais um bom tópico) descobriu o segundo par de números amigáveis: 17296 e 18416. Seu rival, Descartes ("penso, logo existo", a moça de sobrancelha feita abaixo) não deixou barato e, em 1638, achou um par de números também: 9363584 e 9437056.
Como pode-se notar, é difícil (pra caralho!) achar esses pares. Euler aceitou o desafio. Em 1750, ele achou... 58 pares! Em 2000 anos de matemática, apenas 3 pares achados, e não por falta de esforços, e em algum tempo de trabalho, BANG, 58.
Seguindo nossas curiosidades, vocês reconhecem isso aqui, das antigas aulas de matemática de conjuntos:
Diagramas de Venn?
John Venn é um matemático inglês nascido no séc. XIX (1800 e bolinhas). Um século antes, Euler criou esses diagramas para conectar elementos de conjuntos e lógica. Não são diagramas de Venn, são diagramas de Euler.
Aliás, se falarmos em nomeclaturas, podemos dizer que as transformadas de Fourier e de Laplace (quem já estudou cálculo avançado ou equações diferenciais deve conhecer), na verdade, são transformadas de Euler, já que ele as propôs as duas.
Certa feita, alguém desafiava Euler, como foi nos números amigos. O desafio era encontrar quatro números diferentes, que, ao somar qualquer um deles, o resultado seria um quadrado perfeito (4, 9, 25, 36, etc. são quadrados perfeitos, relembrando). Digamos que eu diga que o primeiro número é 1. Qual número que eu posso somar pra ficar um quadrado perfeito? 3. 1+3 = 4, que é quadrado perfeito. Ok, agora outro número que somado a 3 o quadrado segue perfeito? Que tal 6? 3+6 = 9 que é quadrado perfeito, mas 1+6 = 7, que não é quadrado perfeito. Difícil, hein? E nem chegamos em 3 números, imagina com 4...
Euler achou 4 números com essa propriedade. São eles: 18530, 38114, 45986 e 65570.
Outra história: sobre decomposição ou fatoração polinomial de quarta ordem. Tomemos como exemplo o polinômio x^4 - 1. Se fatorarmos esse polinômio, temos:
Uma questão era: essa fatoração em polinômios é possível sempre? Nicholas Bernoulli (família cheia de matemáticos, como eu falei) enviou a Euler um polinômio dizendo orgulhosamente que havia achado um que não era possível a decomposição, o que falseava o teorema aceito na época de que todo polinômio era fatorizável. Eis o polinômio: x4 - 4x3 + 2x² + 4x + 4
Algum tempo depois, eis a resposta de Euler a um matemático em apuros:
Acredite, isso é brilhante. Gauss provou o teorema de que todo polinômio é fatorável anos depois.
Outro problema: lembram do Top 5 mais belas equações e resultados que eu citei antes? Essa é a número 5:
o problema de Basel. Foi proposto em 1644 o seguinte problema: qual o resultado da seguinte soma:
Em 1735, após anos de tentativas, surgiu a resposta de Euler:
Intuitivo, não?
Em outro momento, em Konigsberg (atual Kalingrado, na Rússia) surgiu um desafio interessante: atravessar as 7 pontes da cidade (imagem) somente passando uma vez por cada uma delas. Após inúmeras tentativas e falhas, mandaram o problema para Euler, que retornou a resposta explicando o porquê não era possível. Além de resolver o problema, Euler representou o mesmo numa forma inovadora: através do que conhecemos hoje como "grafos" (imagem), sendo, então o precursor da teoria dos grafos (agradeçam a Euler pelo GPS do carro de vocês ou pela internet funcionar da forma que funciona).
Bem, já me extendi demais por aqui. Quaisquer outras infos serão adicionadas ao longo do tópico. Tudo escrito foi retirado de livros/textos/videos do prof. William Dunham. Qualquer crítica/comentário é bem-vindo.
"Leia Euler, ele é o nosso mestre em tudo." (Laplace)
AVISO: TÓPICO ANTIGO
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Postado originalmente por ex-ReiDaCacheta
